Bài 17: Ước chung lớn nhất

1. Kiến thức trọng tâm

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Ví dụ, $ƯC(12, 18) = {1; 2; 3; 6}$ nên $ƯCLN(12, 18) = 6$. Kí hiệu $ƯCLN(a, b)$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$. Mọi số đều có ước chung là $1$ nên ƯCLN luôn tồn tại.

Cách tìm ƯCLN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố gồm ba bước: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; chọn ra các thừa số nguyên tố chung; lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Ví dụ, tìm $ƯCLN(24, 36)$: $24 = 2^3 \cdot 3$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. Thừa số chung là $2$ và $3$, lấy số mũ nhỏ nhất: $2^2 \cdot 3 = 12$. Vậy $ƯCLN(24, 36) = 12$.

Hai số có ƯCLN bằng $1$ gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Ví dụ, $ƯCLN(8, 9) = 1$ nên $8$ và $9$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm $ƯCLN(18, 30)$.

Lời giải: $18 = 2 \cdot 3^2$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Thừa số chung là $2$ và $3$, lấy số mũ nhỏ nhất: $2 \cdot 3 = 6$. Vậy $ƯCLN(18, 30) = 6$.

Ví dụ 2. Tìm $ƯCLN(15, 28)$.

Lời giải: $15 = 3 \cdot 5$, $28 = 2^2 \cdot 7$. Không có thừa số chung nên $ƯCLN(15, 28) = 1$. Vậy $15$ và $28$ nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 3. Tìm $ƯC(12, 18)$ bằng cách dùng ƯCLN.

Lời giải: $ƯCLN(12, 18) = 6$, các ước của $6$ là $1, 2, 3, 6$. Vậy $ƯC(12, 18) = {1; 2; 3; 6}$.

Ví dụ 4. Một hình chữ nhật có chiều dài $36$ cm, chiều rộng $24$ cm. Chia thành các ô vuông bằng nhau lớn nhất có thể. Hỏi cạnh mỗi ô vuông là bao nhiêu?

Lời giải: Cạnh ô vuông là $ƯCLN(36, 24) = 12$ cm.

3. Ghi nhớ

• ƯCLN là số lớn nhất trong các ước chung.
• Ba bước: phân tích → chọn thừa số chung → tích với số mũ nhỏ nhất.
• ƯCLN $= 1$ thì hai số nguyên tố cùng nhau.
• Mọi ước chung đều là ước của ƯCLN.