Bài 18: Bội chung nhỏ nhất

1. Kiến thức trọng tâm

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác $0$ trong tập hợp các bội chung của các số đó. Ví dụ, $BC(4, 6) = {0; 12; 24; 36; \dots}$ nên $BCNN(4, 6) = 12$. Kí hiệu $BCNN(a, b)$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$.

Cách tìm BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố gồm ba bước: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng; lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Ví dụ, tìm $BCNN(12, 18)$: $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. Thừa số chung và riêng là $2$ và $3$, lấy số mũ lớn nhất: $2^2 \cdot 3^2 = 36$. Vậy $BCNN(12, 18) = 36$. Mọi bội chung của hai số đều là bội của BCNN của chúng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm $BCNN(8, 12)$.

Lời giải: $8 = 2^3$, $12 = 2^2 \cdot 3$. Thừa số chung và riêng là $2$ và $3$, lấy số mũ lớn nhất: $2^3 \cdot 3 = 24$. Vậy $BCNN(8, 12) = 24$.

Ví dụ 2. Tìm $BC(8, 12)$ nhỏ hơn $100$.

Lời giải: $BCNN(8, 12) = 24$, các bội của $24$ nhỏ hơn $100$ là $0, 24, 48, 72, 96$. Vậy $BC(8, 12)$ nhỏ hơn $100$ là ${0; 24; 48; 72; 96}$.

Ví dụ 3. Hai bạn An và Bình cùng trực nhật. An trực $6$ ngày một lần, Bình trực $8$ ngày một lần. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày hai bạn lại cùng trực?

Lời giải: Số ngày cần tìm là $BCNN(6, 8) = 24$ ngày.

Ví dụ 4. Tìm $BCNN(5, 7)$.

Lời giải: $5$ và $7$ là hai số nguyên tố khác nhau nên $BCNN(5, 7) = 5 \cdot 7 = 35$.

3. Ghi nhớ

• BCNN là số nhỏ nhất khác $0$ trong các bội chung.
• Ba bước: phân tích → chọn thừa số chung và riêng → tích với số mũ lớn nhất.
• Mọi bội chung đều là bội của BCNN.
• Hai số nguyên tố cùng nhau thì BCNN bằng tích của chúng.