Bài 13: Bội và ước của một số nguyên

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hai số nguyên $a$ và $b$ với $b \ne 0$. Nếu có số nguyên $q$ sao cho $a = b \cdot q$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b$; $a$ là bội của $b$ và $b$ là ước của $a$. Ví dụ: $-12 = 3 \cdot (-4)$ nên $-12$ là bội của $3$ và $3$ là ước của $-12$; đồng thời $-12$ cũng là bội của $-4$.

Các tính chất cần nhớ: nếu $a$ chia hết cho $b$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a$ chia hết cho $c$; nếu $a$ chia hết cho $b$ thì mọi bội của $a$ cũng chia hết cho $b$; nếu $c$ là ước chung của $a$ và $b$ thì $c$ cũng là ước của tổng và hiệu của $a$ và $b$. Mọi số nguyên khác $0$ đều có các ước là $1, -1$ và chính nó cùng số đối của nó. Số $0$ là bội của mọi số nguyên khác $0$, nhưng $0$ không phải là ước của bất kì số nào.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các ước của $-6$. Lời giải: Các ước nguyên dương của $6$ là $1, 2, 3, 6$; thêm số đối của chúng, ta được các ước của $-6$ là $1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6$.

Ví dụ 2: Viết $5$ bội của $-4$. Lời giải: Các bội của $-4$ là $0, -4, 4, -8, 8$ (nhân $-4$ lần lượt với $0, 1, -1, 2, -2$).

Ví dụ 3: Trong các số $2, -3, 5$, số nào là ước của $-15$? Lời giải: $-15 = (-3) \cdot 5 = 5 \cdot (-3)$, nên $-3$ và $5$ là ước của $-15$; $-15$ không chia hết cho $2$.

Ví dụ 4: Tìm $x$ nguyên biết $x$ là ước của $8$ và x > 0. Lời giải: Các ước nguyên dương của $8$ là $1, 2, 4, 8$, nên $x \in {1, 2, 4, 8}$.

3. Ghi nhớ

• $a$ là bội của $b$ khi có số nguyên $q$ sao cho $a = b \cdot q$.
• Nếu $b$ là ước của $a$ thì $-b$ cũng là ước của $a$.
• $0$ là bội của mọi số nguyên khác $0$ nhưng không là ước của số nào.