Bài 3: Thứ tự trong tập hợp các số nguyên

1. Kiến thức trọng tâm

Trên trục số, với hai số nguyên $a$ và $b$, nếu điểm biểu diễn số $a$ nằm bên trái điểm biểu diễn số $b$ thì a < b (đọc là "$a$ nhỏ hơn $b$"). Từ đó ta có các quy tắc so sánh: mọi số nguyên dương đều lớn hơn $0$; mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn $0$; mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn mọi số nguyên dương.

Để so sánh hai số nguyên âm, ta so sánh giá trị tuyệt đối của chúng: trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn. Ví dụ: |-5| = 5 > |-3| = 3 nên -5 < -3. Nói cách khác, trên trục số, số âm càng xa điểm $0$ về phía trái thì càng nhỏ.

Ngoài ra, nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu). Khi sắp xếp các số nguyên theo thứ tự tăng dần, ta xếp từ số nhỏ nhất đến số lớn nhất, tức từ trái sang phải trên trục số. Khi sắp xếp theo thứ tự giảm dần thì làm ngược lại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: So sánh $-7$ và $-2$. Lời giải: |-7| = 7 > |-2| = 2, nên -7 < -2.

Ví dụ 2: So sánh $-4$ và $1$. Lời giải: $-4$ là số âm, $1$ là số dương, nên -4 < 1.

Ví dụ 3: Sắp xếp các số $-3, 5, 0, -1, 2$ theo thứ tự tăng dần. Lời giải: Thứ tự tăng dần là -3 < -1 < 0 < 2 < 5, nên dãy cần xếp là $-3, -1, 0, 2, 5$.

3. Ghi nhớ

• Số nguyên âm luôn nhỏ hơn $0$ và nhỏ hơn mọi số nguyên dương.
• Trong hai số nguyên âm, số có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì nhỏ hơn.
• Dùng trục số để kiểm tra thứ tự khi còn phân vân.