Bài 11: Tính chất cơ bản của phép nhân phân số

1. Kiến thức trọng tâm

Phép nhân phân số có bốn tính chất cơ bản giúp tính nhanh và tính gọn hơn.

• Tính chất giao hoán: đổi chỗ hai thừa số, tích không đổi: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}$.
• Tính chất kết hợp: khi nhân ba phân số, ta có thể nhân hai thừa số đầu rồi nhân với thừa số thứ ba, hoặc nhân thừa số đầu với tích của hai thừa số sau: $\left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q}\right)$.
• Nhân với số $1$: nhân bất kì phân số nào với $1$ cũng được chính phân số đó: $\frac{a}{b} \cdot 1 = 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$.
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $\frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{p}{q}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q}$.

Nhờ các tính chất này, khi gặp nhiều thừa số, em nên nhóm các phân số có thể rút gọn cho nhau, hoặc đưa thừa số chung ra ngoài để tính nhanh hơn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính nhanh $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{2}$.

Lời giải: Nhóm $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$. Vậy tích bằng $1 \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{7}$.

Ví dụ 2: Tính $\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)$.

Lời giải: Dùng tính chất phân phối: $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{8} + \frac{3}{12} = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$. Cách khác: tính trong ngoặc trước, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, rồi $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.

3. Ghi nhớ

• Giao hoán: đổi chỗ hai thừa số, tích không đổi.
• Kết hợp: nhóm các thừa số theo cách thuận tiện nhất.
• Nhân với $1$ được chính phân số đó.
• Phân phối: nhân với một tổng bằng tổng các tích.
• Ưu tiên nhóm các phân số rút gọn được cho nhau.