Bài 2: Phân số bằng nhau

1. Kiến thức trọng tâm

Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ được gọi là bằng nhau nếu $a \cdot d = b \cdot c$, với $b, d \ne 0$. Đây là quy tắc nhân chéo, giúp em kiểm tra hai phân số có bằng nhau hay không mà không cần vẽ hình.

Ví dụ $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ vì $1 \cdot 4 = 2 \cdot 2 = 4$. Ngược lại, $\frac{2}{3} \ne \frac{3}{4}$ vì $2 \cdot 4 = 8$ còn $3 \cdot 3 = 9$, hai tích chéo khác nhau.

Từ định nghĩa này, em có thể tìm số chưa biết trong một đẳng thức phân số. Nếu biết ba trong bốn số $a, b, c, d$, em lập tích chéo rồi tìm số còn lại. Cách làm này rất giống giải một bài toán tìm $x$.

Ngoài ra, khi tử số và mẫu số của một phân số cùng gấp lên hay giảm đi cùng một số lần, ta vẫn được một phân số bằng với phân số ban đầu. Đây là cơ sở của tính chất cơ bản và rút gọn phân số ở các bài sau.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hai phân số $\frac{3}{5}$ và $\frac{6}{10}$ có bằng nhau không?

Lời giải: Ta có $3 \cdot 10 = 30$ và $5 \cdot 6 = 30$. Hai tích chéo bằng nhau nên $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$.

Ví dụ 2: Tìm $x$ biết $\frac{x}{8} = \frac{3}{4}$.

Lời giải: Theo quy tắc nhân chéo, $x \cdot 4 = 8 \cdot 3 = 24$. Vậy $x = 24 : 4 = 6$.

Ví dụ 3: Tìm $y$ biết $\frac{5}{7} = \frac{15}{y}$.

Lời giải: Ta có $5 \cdot y = 7 \cdot 15 = 105$. Vậy $y = 105 : 5 = 21$.

3. Ghi nhớ

• $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ khi và chỉ khi $a \cdot d = b \cdot c$.
• Muốn kiểm tra hai phân số bằng nhau, em tính hai tích chéo rồi so sánh.
• Muốn tìm số chưa biết, em lập tích chéo rồi chia để tìm số đó.
• Cẩn thận với dấu âm khi nhân chéo, vì tích có thể mang dấu âm.