Bài 1: Nửa mặt phẳng

1. Kiến thức trọng tâm

Một đường thẳng bất kì nằm trên mặt phẳng sẽ chia mặt phẳng đó thành hai phần, mỗi phần cùng với đường thẳng đó được gọi là một nửa mặt phẳng. Đường thẳng đó gọi là bờ của nửa mặt phẳng. Hai nửa mặt phẳng có chung bờ được gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau.

Hai điểm $M$ và $N$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $a$ nếu đoạn thẳng $MN$ không cắt đường thẳng $a$. Ngược lại, nếu đoạn thẳng $MN$ cắt đường thẳng $a$ thì $M$ và $N$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $a$. Trường hợp đặc biệt, nếu $M$ nằm trên đường thẳng $a$ thì $M$ thuộc cả hai nửa mặt phẳng bờ $a$.

Khái niệm nửa mặt phẳng giúp ta mô tả vị trí tương đối của các điểm so với một đường thẳng.

2. Ví dụ minh họa

Cho đường thẳng $a$ và hai điểm $M$, $N$ không thuộc $a$. Biết đoạn thẳng $MN$ cắt đường thẳng $a$ tại điểm $I$.

a) $M$ và $N$ có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $a$ không? Vì sao? b) Lấy điểm $P$ sao cho đoạn thẳng $MP$ không cắt $a$. Hỏi $P$ và $N$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $a$ hay hai nửa mặt phẳng đối nhau? Vì sao?

Lời giải. a) $M$ và $N$ không thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $a$, vì đoạn thẳng $MN$ cắt đường thẳng $a$ nên $M$, $N$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $a$.

b) Vì đoạn thẳng $MP$ không cắt $a$ nên $M$ và $P$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $a$. Mà $M$ và $N$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau nên $P$ và $N$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $a$.

3. Ghi nhớ

• Một đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng đối nhau có chung bờ là đường thẳng đó.
• Đoạn thẳng nối hai điểm cùng một nửa mặt phẳng không cắt đường thẳng bờ; nối hai điểm thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau thì cắt đường thẳng bờ.
• Điểm thuộc đường thẳng bờ thì thuộc cả hai nửa mặt phẳng.