Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ

1. Kiến thức trọng tâm

Một số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên và $b \ne 0$. Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$. Mọi số nguyên, mọi số thập phân hữu hạn và mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ. Ví dụ: $3 = \frac{3}{1}$, $-0,5 = \frac{-1}{2}$, $0,333\ldots = \frac{1}{3}$.

Mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn bằng một điểm trên trục số. Số đối của số hữu tỉ $x$ là số $-x$, có cùng khoảng cách tới gốc $0$ nhưng ở phía ngược lại. Hai số hữu tỉ được gọi là bằng nhau khi chúng có cùng điểm biểu diễn, chẳng hạn $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Để so sánh hai số hữu tỉ, ta đưa chúng về cùng mẫu dương rồi so sánh tử số. Số hữu tỉ lớn hơn $0$ gọi là số hữu tỉ dương, nhỏ hơn $0$ gọi là số hữu tỉ âm, số $0$ không phải số dương cũng không phải số âm. Trên trục số, số càng ở bên phải thì càng lớn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Biểu diễn số hữu tỉ $\frac{3}{4}$ trên trục số.

Lời giải. Chia đoạn đơn vị từ $0$ đến $1$ thành $4$ phần bằng nhau. Điểm biểu diễn $\frac{3}{4}$ là điểm cách gốc $0$ một khoảng bằng $3$ phần đó, nằm bên phải gốc $0$.

Ví dụ 2. So sánh $-0,75$ và $-\frac{4}{5}$.

Lời giải. Ta có $-0,75 = -\frac{3}{4} = -\frac{15}{20}$ và $-\frac{4}{5} = -\frac{16}{20}$. Vì -15 > -16 nên -\frac{15}{20} > -\frac{16}{20}. Vậy -0,75 > -\frac{4}{5}.

Ví dụ 3. Tìm số đối của $\frac{5}{7}$ và của $-2,3$.

Lời giải. Số đối của $\frac{5}{7}$ là $-\frac{5}{7}$. Số đối của $-2,3$ là $2,3$.

3. Ghi nhớ

• Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng $\frac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \ne 0$.
• Muốn so sánh hai số hữu tỉ, đưa về cùng mẫu dương rồi so sánh tử.
• Số đối của $x$ là $-x$; hai số đối nhau có tổng bằng $0$.
• Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ, nhưng không phải mọi số hữu tỉ đều là số nguyên.