Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

1. Kiến thức trọng tâm

Định lí là một khẳng định toán học được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết, chẳng hạn tiên đề, định nghĩa hoặc các định lí đã chứng minh trước đó. Mỗi định lí thường có dạng "Nếu ... thì ...". Phần sau từ "Nếu" gọi là giả thiết, phần sau từ "thì" gọi là kết luận. Ví dụ, định lí "Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" có giả thiết là hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba, kết luận là chúng song song với nhau.

Chứng minh định lí là dùng lập luận logic để chỉ ra kết luận đúng khi giả thiết đúng. Một bài chứng minh thường gồm các bước: vẽ hình minh họa, ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu, rồi trình bày dãy suy luận, mỗi bước đều có căn cứ rõ ràng. Người học cần phân biệt định lí với tiên đề: tiên đề được thừa nhận mà không cần chứng minh, còn định lí phải được chứng minh.

2. Ví dụ minh họa

Chứng minh định lí: "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau."

Ví dụ. Cho $a \parallel b$ và đường thẳng $c$ cắt $a$ tại $A$, cắt $b$ tại $B$. Gọi $\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc so le trong. Chứng minh $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$.

Lời giải. Giả sử $\widehat{A_1} \ne \widehat{B_1}$. Qua $A$ kẻ đường thẳng $a'$ sao cho góc so le trong với $\widehat{B_1}$ bằng $\widehat{B_1}$. Khi đó $a' \parallel b$ theo dấu hiệu nhận biết. Qua $A$ có hai đường thẳng $a$ và $a'$ cùng song song với $b$, trái với tiên đề Euclid. Vậy giả sử sai, nên $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$.

3. Ghi nhớ

Định lí có dạng "Nếu ... thì ...", gồm giả thiết và kết luận. Chứng minh định lí là lập luận từ giả thiết để suy ra kết luận, mỗi bước phải có căn cứ. Khi làm bài, hãy vẽ hình, ghi giả thiết – kết luận rồi mới trình bày chứng minh theo từng bước rõ ràng.