Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

1. Kiến thức trọng tâm

Tam giác vuông có một góc bằng $90^\circ$ nên việc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau đơn giản hơn tam giác thường. Ngoài các trường hợp c.c.c, c.g.c, g.c.g, tam giác vuông còn có trường hợp riêng: cạnh huyền – cạnh góc vuông. Cụ thể, nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Một số trường hợp khác cũng thường gặp: hai cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác vuông bằng nhau theo c.g.c; một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề bằng nhau thì hai tam giác vuông bằng nhau theo g.c.g; cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau thì hai tam giác vuông bằng nhau. Khi giải bài, cần chỉ rõ tam giác vuông tại đâu, cạnh huyền là cạnh nào, rồi mới áp dụng trường hợp phù hợp. Từ hai tam giác vuông bằng nhau, ta suy ra các cạnh và góc tương ứng bằng nhau như tam giác thường.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle DEF$ vuông tại $D$ có $BC = EF = 10$ cm, $AB = DE = 6$ cm. Chứng minh $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Lời giải. Hai tam giác vuông có cạnh huyền $BC = EF$ và cạnh góc vuông $AB = DE$ nên theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông, $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Ví dụ 2. Cho $\triangle MNP$ vuông tại $M$ và $\triangle QRS$ vuông tại $Q$ có $MN = QR$ và $\widehat{N} = \widehat{R}$. Chứng minh $\triangle MNP = \triangle QRS$.

Lời giải. Hai tam giác vuông có một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề bằng nhau nên theo trường hợp g.c.g, $\triangle MNP = \triangle QRS$. Suy ra $NP = RS$.

3. Ghi nhớ

Tam giác vuông có thêm trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông. Khi chứng minh, hãy nêu rõ tam giác vuông tại đâu và xác định đúng cạnh huyền, cạnh góc vuông. Từ hai tam giác vuông bằng nhau, suy ra các yếu tố tương ứng còn lại bằng nhau.