Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

1. Kiến thức trọng tâm

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh bằng nhau gọi là hai cạnh bên, cạnh còn lại gọi là cạnh đáy, hai góc ở đáy bằng nhau. Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác cân, có ba cạnh bằng nhau và ba góc đều bằng $60^\circ$. Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, mọi điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng. Tính chất này thường được dùng để chứng minh một điểm nằm trên đường trung trực hoặc để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{B} = 50^\circ$. Tính $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$.

Lời giải. Vì tam giác cân tại $A$ nên $\widehat{C} = \widehat{B} = 50^\circ$. Suy ra $\widehat{A} = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$.

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng $AB$ có trung điểm $M$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $M$. Lấy điểm $P$ thuộc $d$. Chứng minh $PA = PB$.

Lời giải. Xét $\triangle PMA$ và $\triangle PMB$: $MA = MB$, $\widehat{PMA} = \widehat{PMB} = 90^\circ$, cạnh $PM$ chung. Theo trường hợp c.g.c, $\triangle PMA = \triangle PMB$, suy ra $PA = PB$.

3. Ghi nhớ

Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai góc ở đáy bằng nhau. Tam giác đều có ba góc bằng $60^\circ$. Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.