Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. Kiến thức trọng tâm

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta suy ra tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d} \quad (b \ne 0,\ d \ne 0,\ b \ne \pm d).$$

Tính chất này mở rộng cho nhiều tỉ số: nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ thì

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{a - c + e}{b - d + f}.$$

Ngoài ra, ta còn có thể nhân cả tử và mẫu của một tỉ số với cùng một số khác $0$ rồi mới cộng hoặc trừ, chẳng hạn $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{2a - 3c}{2b - 3d}$. Tính chất này rất hữu ích khi bài toán cho tổng hoặc hiệu của các đại lượng và yêu cầu tìm từng đại lượng. Cách làm chung: đặt dãy tỉ số bằng $k$ (gọi là giá trị chung), biểu diễn mỗi đại lượng theo $k$, rồi thay vào điều kiện tổng hoặc hiệu để tìm $k$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm $x$ và $y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y = 32$.

Lời giải. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x + y}{3 + 5} = \frac{32}{8} = 4.$$

Suy ra $x = 3 \cdot 4 = 12$ và $y = 5 \cdot 4 = 20$.

Ví dụ 2. Ba lớp $7A$, $7B$, $7C$ trồng được tổng cộng $180$ cây. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với $3$, $4$, $5$. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

Lời giải. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là $a$, $b$, $c$. Ta có $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{a + b + c}{3 + 4 + 5} = \frac{180}{12} = 15$. Vậy $a = 45$, $b = 60$, $c = 75$ cây.

3. Ghi nhớ

• Dãy tỉ số bằng nhau cho phép cộng hoặc trừ các tử với nhau, các mẫu với nhau mà giá trị không đổi.
• Khi cộng, trừ: tử cộng tử, mẫu cộng mẫu; chú ý điều kiện mẫu khác $0$.
• Dạng bài quen thuộc: chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.