Bài 25: Đa thức một biến

1. Kiến thức trọng tâm

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Ví dụ: $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ là một đa thức một biến $x$.

Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức. Hạng tử không chứa biến gọi là hạng tử tự do. Trong ví dụ trên, hạng tử tự do là $-5$.

Bậc của đa thức một biến (khác đa thức $0$) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó sau khi đã thu gọn. Đa thức $P(x)$ ở trên có bậc $3$. Đa thức $0$ không có bậc. Đa thức có bậc $0$ là một hằng số khác $0$.

Để thu gọn đa thức, ta cộng các hạng tử đồng dạng với nhau. Hai hạng tử đồng dạng là hai hạng tử có cùng phần biến (cùng biến và cùng số mũ). Chẳng hạn $3x^2$ và $-5x^2$ là đồng dạng, còn $3x^2$ và $3x^3$ thì không.

Người ta thường sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến để dễ theo dõi. Ví dụ: $Q(x) = -1 + 2x - x^3$ viết theo lũy thừa giảm dần là $Q(x) = -x^3 + 2x - 1$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thu gọn đa thức $A(x) = 4x^3 - 2x + 3x^2 + 5x - x^3$.

Lời giải. Cộng các hạng tử đồng dạng: $4x^3 - x^3 = 3x^3$; $-2x + 5x = 3x$. Vậy $A(x) = 3x^3 + 3x^2 + 3x$. Bậc của $A(x)$ là $3$, hệ số cao nhất là $3$.

Ví dụ 2. Cho $B(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 7$. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hạng tử tự do.

Lời giải. Bậc của $B(x)$ là $4$, hệ số cao nhất là $1$, hạng tử tự do là $-7$.

Ví dụ 3. Tính giá trị của $C(x) = 2x^2 - x + 3$ tại $x = -1$.

Lời giải. $C(-1) = 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 3 = 2 + 1 + 3 = 6$.

3. Ghi nhớ

• Đa thức một biến là tổng các đơn thức cùng biến.
• Thu gọn: cộng các hạng tử đồng dạng.
• Bậc của đa thức là số mũ lớn nhất của biến sau khi thu gọn.