Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

1. Kiến thức trọng tâm

Để nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại: $a \cdot (b + c) = ab + ac$. Ví dụ: $2x \cdot (x^2 + 3x - 1) = 2x^3 + 6x^2 - 2x$.

Để nhân hai đa thức một biến, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại, sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng. Công thức tổng quát: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Khi nhân, cần chú ý quy tắc dấu: tích hai hạng tử cùng dấu thì dương, khác dấu thì âm; nhân các hệ số với nhau và cộng các số mũ của biến. Ví dụ: $(-2x^2) \cdot 3x = -6x^3$.

Sau khi nhân xong, ta thu gọn kết quả và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến. Bậc của tích hai đa thức bằng tổng bậc của hai đa thức (khi cả hai đều khác đa thức $0$). Chẳng hạn, đa thức bậc $2$ nhân với đa thức bậc $3$ cho kết quả bậc $5$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $3x \cdot (2x^2 - x + 4)$.

Lời giải. $3x \cdot (2x^2 - x + 4) = 6x^3 - 3x^2 + 12x$.

Ví dụ 2. Tính $(x + 2)(x^2 - 3x + 1)$.

Lời giải. $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot (-3x) + x \cdot 1 + 2 \cdot x^2 + 2 \cdot (-3x) + 2 \cdot 1 = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2$.

Ví dụ 3. Tính $(2x - 1)(x + 3)$.

Lời giải. $(2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

3. Ghi nhớ

• Đơn thức nhân đa thức: nhân với từng hạng tử rồi cộng lại.
• Đa thức nhân đa thức: mỗi hạng tử nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
• Nhớ quy tắc dấu và thu gọn kết quả sau khi nhân.