Bài 28: Phép chia đa thức một biến

1. Kiến thức trọng tâm

Phép chia một đơn thức cho một đơn thức: chia hệ số cho hệ số, chia phần biến cho phần biến (trừ các số mũ). Ví dụ: $6x^5 : 2x^2 = 3x^3$; $-8x^4 : 4x = -2x^3$.

Phép chia một đa thức cho một đơn thức: chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó rồi cộng các thương lại. Ví dụ: $(6x^3 - 4x^2 + 2x) : 2x = 3x^2 - 2x + 1$.

Phép chia hai đa thức một biến được thực hiện tương tự như phép chia các số tự nhiên: sắp xếp hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến, rồi lặp lại các bước chia hạng tử đầu, nhân ngược, trừ đi, hạ hạng tử tiếp theo cho đến khi bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia hoặc dư bằng $0$.

Kết quả chia có dạng $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, trong đó $Q(x)$ là thương, $R(x)$ là dư. Nếu $R(x) = 0$ thì $A(x)$ chia hết cho $B(x)$. Khi kiểm tra, có thể nhân thương với đa thức chia rồi cộng với dư để xem có bằng đa thức bị chia hay không.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $(12x^4 - 6x^3 + 3x^2) : 3x^2$.

Lời giải. Chia từng hạng tử: $12x^4 : 3x^2 = 4x^2$; $-6x^3 : 3x^2 = -2x$; $3x^2 : 3x^2 = 1$. Vậy thương là $4x^2 - 2x + 1$.

Ví dụ 2. Tính $(x^3 - 2x^2 - x + 2) : (x - 2)$.

Lời giải. Thực hiện chia: $x^3 : x = x^2$, nhân ngược $x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2$, trừ đi được dư $-x + 2$. Tiếp tục: $-x : x = -1$, nhân ngược $-1 \cdot (x - 2) = -x + 2$, trừ đi được dư $0$. Vậy thương là $x^2 - 1$.

3. Ghi nhớ

• Chia đơn thức cho đơn thức: chia hệ số, trừ số mũ.
• Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử.
• Chia hai đa thức: sắp xếp giảm dần, chia – nhân ngược – trừ, lặp lại đến khi dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.