Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

1. Kiến thức trọng tâm

Lũy thừa bậc $n$ của số hữu tỉ $x$ là tích của $n$ thừa số $x$, kí hiệu $x^n$, trong đó $n$ là số tự nhiên lớn hơn $1$. Ta có $x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n \text{ thừa số}}$. Quy ước $x^1 = x$ và $x^0 = 1$ với $x \ne 0$. Ví dụ: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$.

Dấu của lũy thừa phụ thuộc vào cơ số và số mũ. Nếu cơ số âm và số mũ chẵn, lũy thừa mang dấu dương; nếu cơ số âm và số mũ lẻ, lũy thừa mang dấu âm. Ví dụ: $(-2)^4 = 16$ còn $(-2)^3 = -8$.

Các tính chất quan trọng của lũy thừa cùng cơ số: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ và $x^m : x^n = x^{m-n}$ với $x \ne 0$ và $m \ge n$. Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: $(xy)^n = x^n y^n$. Lũy thừa của một thương: $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$ với $y \ne 0$. Lũy thừa của lũy thừa: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Khi tính giá trị biểu thức có lũy thừa, ta thực hiện lũy thừa trước, rồi nhân chia, cuối cùng cộng trừ. Cần phân biệt $(-x)^n$ với $-x^n$: biểu thức đầu lấy lũy thừa của số $-x$, biểu thức sau lấy số đối của $x^n$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\left(-\frac{1}{2}\right)^4$.

Lời giải. $\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{(-1)^4}{2^4} = \frac{1}{16}$ vì số mũ $4$ là số chẵn.

Ví dụ 2. Tính $2^3 \cdot 2^5$.

Lời giải. $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$.

Ví dụ 3. Viết $\left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^4$ dưới dạng một lũy thừa.

Lời giải. $\left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^4 = \left(\frac{3}{5}\right)^{2+4} = \left(\frac{3}{5}\right)^6$.

Ví dụ 4. Tính $\left(3^2\right)^3 : 3^4$.

Lời giải. $\left(3^2\right)^3 : 3^4 = 3^{6} : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2 = 9$.

3. Ghi nhớ

• $x^n$ là tích của $n$ thừa số $x$; $x^0 = 1$ với $x \ne 0$.
• $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$; $x^m : x^n = x^{m-n}$; $(x^m)^n = x^{mn}$.
• $(xy)^n = x^n y^n$; $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$.
• Cơ số âm, mũ chẵn cho kết quả dương; mũ lẻ cho kết quả âm.