Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

1. Kiến thức trọng tâm

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, và ngược lại, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Đây là mối quan hệ quan trọng nối liền độ lớn của góc với độ dài của cạnh trong cùng một tam giác.

Cụ thể, trong tam giác $ABC$, nếu \widehat{A} > \widehat{B} thì BC > AC; nếu BC > AC thì \widehat{A} > \widehat{B}. Nhờ định lí này, ta có thể so sánh các cạnh của một tam giác khi biết các góc, hoặc so sánh các góc khi biết các cạnh, mà không cần đo đạc trực tiếp.

Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất, nên cạnh huyền (đối diện góc vuông) là cạnh dài nhất. Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù cũng là cạnh dài nhất. Kết quả này giúp ta nhận biết nhanh cạnh dài nhất và cạnh ngắn nhất của một tam giác chỉ từ số đo các góc.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tam giác $MNP$ có $\widehat{M} = 50^\circ$, $\widehat{N} = 70^\circ$, $\widehat{P} = 60^\circ$. Hãy sắp xếp các cạnh của tam giác theo thứ tự tăng dần.

Lời giải. Vì \widehat{M} < \widehat{P} < \widehat{N} nên cạnh đối diện sắp xếp tương ứng là NP < MN < MP. Vậy thứ tự tăng dần là $NP$, $MN$, $MP$.

Ví dụ 2. Tam giác $ABC$ có $AB = 5$ cm, $AC = 7$ cm, $BC = 6$ cm. So sánh các góc của tam giác.

Lời giải. Vì AB < BC < AC nên góc đối diện sắp xếp tương ứng là \widehat{C} < \widehat{A} < \widehat{B}. Vậy \widehat{C} < \widehat{A} < \widehat{B}.

3. Ghi nhớ

• Trong một tam giác, góc lớn hơn thì cạnh đối diện lớn hơn; cạnh lớn hơn thì góc đối diện lớn hơn.
• Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh dài nhất.
• Muốn so sánh các cạnh, hãy so sánh các góc đối diện với chúng và ngược lại.