Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

1. Kiến thức trọng tâm

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm $G$ chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần theo tỉ lệ $2 : 1$, tính từ đỉnh: khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến. Chẳng hạn, nếu $AM$ là trung tuyến thì $AG = \frac{2}{3}AM$ và $GM = \frac{1}{3}AM$.

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng từ một đỉnh đến cạnh đối diện và chia góc ở đỉnh đó thành hai góc bằng nhau. Ba đường phân giác của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác, chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Nhờ tính chất này, ta có thể xác định tâm đường tròn nội tiếp bằng giao điểm của hai đường phân giác bất kì.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM = 9$ cm, trọng tâm $G$. Tính $AG$ và $GM$.

Lời giải. Ta có $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ (cm); $GM = AM - AG = 9 - 6 = 3$ (cm).

Ví dụ 2. Tam giác $ABC$ có giao điểm $I$ của ba đường phân giác. Hỏi $I$ cách đều những đoạn nào?

Lời giải. Điểm $I$ cách đều ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$ của tam giác, nên $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

3. Ghi nhớ

• Ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm; trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ $2 : 1$ tính từ đỉnh.
• Ba đường phân giác đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh, là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
• Muốn tìm trọng tâm, lấy giao điểm của hai đường trung tuyến; muốn tìm tâm đường tròn nội tiếp, lấy giao điểm của hai đường phân giác.