Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

1. Kiến thức trọng tâm

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác, chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Vì vậy, muốn vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác, ta lấy giao điểm của hai đường trung trực làm tâm.

Đường cao của một tam giác là đoạn thẳng từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện. Ba đường cao của một tam giác cũng đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác. Trong tam giác nhọn, trực tâm nằm bên trong tam giác; trong tam giác vuông, trực tâm trùng với đỉnh góc vuông; trong tam giác tù, trực tâm nằm bên ngoài tam giác. Các tính chất đồng quy này giúp ta xác định nhiều điểm đặc biệt quan trọng của tam giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tam giác $ABC$ có giao điểm $O$ của ba đường trung trực. So sánh $OA$, $OB$, $OC$.

Lời giải. Vì $O$ là giao điểm của ba đường trung trực nên $O$ cách đều ba đỉnh, suy ra $OA = OB = OC$. Điểm $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ 2. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hỏi trực tâm của tam giác nằm ở đâu?

Lời giải. Đường cao từ $B$ là $BA$, đường cao từ $C$ là $CA$, hai đường cao này gặp nhau tại $A$. Vậy trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông $A$.

3. Ghi nhớ

• Ba đường trung trực đồng quy tại một điểm cách đều ba đỉnh, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• Ba đường cao đồng quy tại trực tâm.
• Trực tâm nằm trong tam giác nhọn, trùng với đỉnh góc vuông ở tam giác vuông, nằm ngoài tam giác tù.