Bài 5: Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

1. Kiến thức trọng tâm

Khi chia hai số nguyên, có trường hợp phép chia không bao giờ kết thúc và phần thập phân lặp lại một nhóm chữ số theo chu trình. Số thập phân như vậy gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Nhóm chữ số lặp lại gọi là chu kì, viết gọn trong dấu ngoặc đơn. Ví dụ: $0,333\ldots = 0,(3)$ và $1,2727\ldots = 1,(27)$.

Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ, vì nó viết được dưới dạng phân số. Chẳng hạn $0,(3) = \frac{1}{3}$ và $0,(9) = 1$. Ngược lại, một phân số tối giản có mẫu chứa thừa số nguyên tố khác $2$ và $5$ thì khi viết dưới dạng thập phân sẽ cho số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ: $\frac{1}{6} = 0,1(6)$.

Để đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số, ta dùng mẹo: $0,(a) = \frac{a}{9}$ với $a$ là chữ số; $0,(ab) = \frac{ab}{99}$ với $ab$ là chu kì hai chữ số. Với số có phần thập phân không tuần hoàn ở đầu, chẳng hạn $0,1(6)$, ta đặt $x = 0,1(6)$, nhân $x$ với $10$ và $100$ rồi trừ hai đẳng thức để tìm $x = \frac{1}{6}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết $0,(7)$ dưới dạng phân số.

Lời giải. $0,(7) = \frac{7}{9}$.

Ví dụ 2. Viết $\frac{5}{11}$ dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Lời giải. Thực hiện phép chia $5 : 11 = 0,4545\ldots$ Vậy $\frac{5}{11} = 0,(45)$.

Ví dụ 3. Đổi $0,2(3)$ về phân số.

Lời giải. Đặt $x = 0,2(3)$. Ta có $10x = 2,(3)$ và $100x = 23,(3)$. Trừ hai đẳng thức: $90x = 21$, suy ra $x = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$.

3. Ghi nhớ

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn lặp lại một chu kì, viết chu kì trong ngoặc đơn.
• Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ.
• $0,(a) = \frac{a}{9}$; $0,(ab) = \frac{ab}{99}$.
• Mẫu số có thừa số nguyên tố khác $2$ và $5$ cho số thập phân vô hạn tuần hoàn.