Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

1. Kiến thức trọng tâm

Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn, tức là phần thập phân kéo dài mãi mà không lặp lại theo chu trình nào. Ví dụ: $1,4142135\ldots$ và $\pi = 3,1415926\ldots$ là các số vô tỉ. Số vô tỉ không viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với $a, b$ là số nguyên. Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là $\mathbb{I}$.

Căn bậc hai số học của một số $a$ không âm, kí hiệu $\sqrt{a}$, là số $x \ge 0$ thỏa mãn $x^2 = a$. Ví dụ: $\sqrt{25} = 5$ vì $5^2 = 25$ và $5 \ge 0$; $\sqrt{0} = 0$. Số âm không có căn bậc hai số học. Lưu ý $(\sqrt{a})^2 = a$ và $\sqrt{a^2} = a$ với $a \ge 0$.

Nếu $a$ không phải là bình phương của một số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.

Khi tính toán với căn bậc hai, ta có: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ và $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a, b \ge 0$ và $b \ne 0$. Các công thức này giúp rút gọn biểu thức chứa căn, chẳng hạn $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\sqrt{49} + \sqrt{16}$.

Lời giải. $\sqrt{49} + \sqrt{16} = 7 + 4 = 11$.

Ví dụ 2. Rút gọn $\sqrt{50}$.

Lời giải. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Ví dụ 3. Tính $\sqrt{36} : \sqrt{4}$.

Lời giải. $\sqrt{36} : \sqrt{4} = 6 : 2 = 3$. Cách khác: $\sqrt{36 : 4} = \sqrt{9} = 3$.

Ví dụ 4. So sánh $\sqrt{5}$ và $2$.

Lời giải. Ta có $2 = \sqrt{4}$ và 5 > 4 nên \sqrt{5} > \sqrt{4} = 2.

3. Ghi nhớ

• Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn, không viết được dạng phân số.
• $\sqrt{a}$ là số $x \ge 0$ sao cho $x^2 = a$; chỉ xác định khi $a \ge 0$.
• $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$; $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
• $\sqrt{a}$ là số vô tỉ nếu $a$ không phải bình phương của số hữu tỉ.