Bài tập cuối chương 6 trang 21

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 6 nghiên cứu tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ. Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số, dạng $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với $b, d \ne 0$. Tính chất cơ bản: $a \cdot d = b \cdot c$ (tích chéo bằng nhau).

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ thì bằng $\frac{a+c+e}{b+d+f}$ và $\frac{a-c+e}{b-d+f}$ (với các mẫu khác $0$). Tính chất này giúp giải nhiều bài toán chia tỉ lệ.

Hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ thuận nếu $y = kx$ với $k \ne 0$ là hệ số tỉ lệ. Hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch nếu $y = \frac{a}{x}$, tức $xy = a$ với $a \ne 0$ là hệ số tỉ lệ. Khi đó tích $xy$ không đổi và $x$ tăng bao nhiêu lần thì $y$ giảm bấy nhiêu lần.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm $x$ biết $\frac{x}{5} = \frac{12}{20}$.

Lời giải: Tích chéo: $20x = 60$, suy ra $x = 3$.

Ví dụ 2. Chia $60$ thành ba phần tỉ lệ với $1 : 2 : 3$.

Lời giải: Gọi ba phần là $a, b, c$. Ta có $\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = \frac{a+b+c}{1+2+3} = \frac{60}{6} = 10$. Vậy $a = 10$, $b = 20$, $c = 30$.

Ví dụ 3. $8$ công nhân làm xong một việc trong $6$ ngày. Hỏi $12$ công nhân (năng suất như nhau) làm xong việc đó trong bao nhiêu ngày?

Lời giải: Số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch: $8 \times 6 = 12 \times t$, suy ra $t = 4$ (ngày).

3. Ghi nhớ

• Tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ tương đương $ad = bc$.
• Dãy tỉ số bằng nhau: cộng (trừ) tử và mẫu tương ứng giữ nguyên tỉ số.
• Tỉ lệ thuận: $y = kx$, tỉ số $\frac{y}{x}$ không đổi.
• Tỉ lệ nghịch: $xy = a$, tích không đổi.
• Bài toán chia tỉ lệ dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
• Kiểm tra đơn vị và điều kiện mẫu khác $0$ khi giải.