Bài 7: Tập hợp các số thực

1. Kiến thức trọng tâm

Tập hợp các số thực, kí hiệu $\mathbb{R}$, gồm tất cả các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Mỗi số thực được biểu diễn bằng đúng một điểm trên trục số, và ngược lại, mỗi điểm trên trục số biểu diễn đúng một số thực. Vì vậy trục số còn được gọi là trục số thực. Ta có quan hệ bao hàm: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia (chia cho số khác $0$) trong tập hợp số thực được thực hiện tương tự như với số hữu tỉ. Giá trị tuyệt đối của số thực $x$, kí hiệu $|x|$, là khoảng cách từ điểm $x$ tới gốc $0$ trên trục số. Ta có $|x| = x$ nếu $x \ge 0$ và $|x| = -x$ nếu x < 0. Ví dụ: $|{-3,5}| = 3,5$ và $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.

Để so sánh hai số thực, ta có thể so sánh phần thập phân của chúng hoặc dùng tính chất: nếu $a, b \ge 0$ và a^2 < b^2 thì a < b. Ví dụ: vì (\sqrt{3})^2 = 3 < 4 = 2^2 nên \sqrt{3} < 2.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Sắp xếp các số $-1$; $0,(3)$; $\sqrt{2}$; $1,5$ theo thứ tự tăng dần.

Lời giải. Ta có 0,(3) = 0,333\ldots < 1,414\ldots = \sqrt{2} < 1,5. Vậy thứ tự là -1 < 0,(3) < \sqrt{2} < 1,5.

Ví dụ 2. Tính $|\pi - 3|$.

Lời giải. Vì \pi \approx 3,14 > 3 nên \pi - 3 > 0. Vậy $|\pi - 3| = \pi - 3$.

Ví dụ 4. Tìm $x$, biết $|x| = 4$.

Lời giải. $|x| = 4$ khi $x = 4$ hoặc $x = -4$.

3. Ghi nhớ

• $\mathbb{R}$ gồm số hữu tỉ và số vô tỉ; $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
• Mỗi số thực tương ứng với đúng một điểm trên trục số.
• $|x| = x$ nếu $x \ge 0$; $|x| = -x$ nếu x < 0.
• So sánh số thực bằng cách so sánh phần thập phân hoặc bình phương (với số không âm).