Bài 10: Tứ giác

1. Kiến thức trọng tâm

Tứ giác là hình gồm bốn đoạn thẳng, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Tứ giác $ABCD$ có bốn đỉnh, bốn cạnh, hai đường chéo $AC$, $BD$ và bốn góc.

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ chứa bất kì cạnh nào của nó; trong chương trình lớp 8, tứ giác được hiểu là tứ giác lồi.

Định lí tổng các góc của một tứ giác: tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng $360^\circ$. Tức là với tứ giác $ABCD$, ta có $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ$. Chứng minh bằng cách vẽ một đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác.

Hai cạnh kề nhau chung một đỉnh, hai cạnh đối nhau không chung đỉnh; tương tự với góc và đỉnh.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 110^\circ$, $\widehat{B} = 90^\circ$, $\widehat{C} = 70^\circ$. Tính $\widehat{D}$.

Lời giải. Tổng bốn góc bằng $360^\circ$ nên $\widehat{D} = 360^\circ - 110^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 90^\circ$.

Ví dụ 2. Tứ giác $MNPQ$ có $\widehat{M} : \widehat{N} : \widehat{P} : \widehat{Q} = 1 : 2 : 3 : 4$. Tính số đo mỗi góc.

Lời giải. Đặt $\widehat{M} = x$, $\widehat{N} = 2x$, $\widehat{P} = 3x$, $\widehat{Q} = 4x$. Tổng bốn góc: $x + 2x + 3x + 4x = 10x = 360^\circ$, suy ra $x = 36^\circ$. Vậy $\widehat{M} = 36^\circ$, $\widehat{N} = 72^\circ$, $\widehat{P} = 108^\circ$, $\widehat{Q} = 144^\circ$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Lời giải. Gọi hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Trong các tam giác $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ lần lượt có OA + OB > AB, OB + OC > BC, OC + OD > CD, OD + OA > DA. Cộng lại: 2(AC + BD) > chu vi, hay AC + BD > \frac{1}{2} chu vi.

3. Ghi nhớ

• Tứ giác có bốn đỉnh, bốn cạnh, hai đường chéo, bốn góc.
• Tổng bốn góc của một tứ giác bằng $360^\circ$.
• Phân biệt cặp cạnh, cặp góc, cặp đỉnh kề nhau và đối nhau.