Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

1. Kiến thức trọng tâm

Định lí Thalès trong tam giác phát biểu: nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Cụ thể, trong tam giác $ABC$, nếu đường thẳng $d \parallel BC$ cắt $AB$ tại $M$ và $AC$ tại $N$ thì $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$.

Định lí đảo cũng đúng: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Nhờ định lí đảo, ta có thể chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách tính tỉ số các đoạn thẳng.

Định lí Thalès còn có hệ quả mở rộng cho trường hợp đường thẳng song song cắt hai đường thẳng chứa hai cạnh của tam giác. Định lí này là công cụ quan trọng để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh song song và giải nhiều bài toán thực tế như đo chiều cao gián tiếp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Trong tam giác $ABC$, điểm $M$ thuộc $AB$ sao cho $AM = 3$ cm, $MB = 6$ cm. Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AC$ tại $N$ với $AN = 4$ cm. Tính $NC$ và $AC$.

Lời giải. Theo định lí Thalès: $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$. Ta có $AB = AM + MB = 9$ cm, nên $\frac{3}{9} = \frac{4}{AC}$, suy ra $AC = 12$ cm. Vậy $NC = AC - AN = 12 - 4 = 8$ cm.

3. Ghi nhớ

• Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trên hai cạnh còn lại.
• Định lí đảo dùng để chứng minh hai đường thẳng song song.
• Luôn xác định đúng các cặp đoạn thẳng tương ứng trước khi lập tỉ lệ.