Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Kiến thức trọng tâm

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn thẳng ấy. Cụ thể, trong tam giác $ABC$, nếu $AD$ là đường phân giác của góc $A$ với $D$ thuộc $BC$ thì $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

Tính chất này cũng đúng với đường phân giác ngoài: đường phân giác của góc ngoài tại một đỉnh chia cạnh đối diện (phần kéo dài) thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề. Nhờ tính chất đường phân giác, ta có thể tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh đối diện khi biết độ dài hai cạnh bên, hoặc ngược lại.

Ba đường phân giác trong của một tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác. Tính chất đường phân giác là cầu nối quan trọng giữa góc và tỉ số đoạn thẳng, thường xuất hiện trong các bài toán chứng minh và tính toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm, $BC = 10$ cm. Đường phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính $DB$ và $DC$.

Lời giải. Theo tính chất đường phân giác: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Đặt $DB = 2x$, $DC = 3x$. Vì $DB + DC = BC = 10$ nên $5x = 10$, suy ra $x = 2$. Vậy $DB = 4$ cm và $DC = 6$ cm.

3. Ghi nhớ

• Đường phân giác trong chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$.
• Ba đường phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp.
• Khi dùng tính chất, phải xác định đúng phân giác trong hay phân giác ngoài.