Bài 2: Đa thức

1. Kiến thức trọng tâm

Đa thức là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng đó được gọi là một hạng tử của đa thức. Ví dụ: $P = 3x^2 + 2xy - 5$ là đa thức gồm ba hạng tử $3x^2$, $2xy$ và $-5$.

Đa thức thu gọn là đa thức không còn hai hạng tử nào đồng dạng. Để thu gọn một đa thức, ta cộng (hoặc trừ) các hạng tử đồng dạng với nhau. Ví dụ: $x^2 + 3xy + 2x^2 - xy = 3x^2 + 2xy$.

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. Chẳng hạn, đa thức $4x^3y - 2xy + 1$ có bậc $4$. Đa thức không (tất cả các hệ số đều bằng $0$) không có bậc.

Đa thức một biến chỉ chứa một biến, thường viết theo lũy thừa giảm dần, ví dụ: $A(x) = 2x^3 - x + 5$. Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất, hệ số của hạng tử bậc $0$ gọi là hệ số tự do.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thu gọn đa thức $Q = 5x^2y - 3xy + 2x^2y + xy - 4$.

Lời giải. Nhóm các hạng tử đồng dạng: $Q = (5x^2y + 2x^2y) + (-3xy + xy) - 4 = 7x^2y - 2xy - 4$.

Ví dụ 2. Tìm bậc của đa thức $R = 3x^4 - x^2y + 2xy^3 - 1$ sau khi thu gọn.

Lời giải. Bậc các hạng tử lần lượt là $4$; $3$; $4$; $0$ nên đa thức $R$ có bậc $4$.

Ví dụ 3. Cho $A(x) = x^3 - 2x^2 + x - 7$. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của $A(x)$.

Lời giải. Hạng tử bậc cao nhất là $x^3$ nên hệ số cao nhất là $1$. Hạng tử bậc $0$ là $-7$ nên hệ số tự do là $-7$.

3. Ghi nhớ

• Đa thức là tổng của các đơn thức; mỗi đơn thức là một hạng tử.
• Thu gọn đa thức bằng cách cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
• Bậc của đa thức là bậc lớn nhất của các hạng tử trong dạng thu gọn.