Bài tập cuối chương 2

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 2 tổng kết các hằng đẳng thức đáng nhớ và cách phân tích đa thức thành nhân tử. Ba hằng đẳng thức cơ bản là bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$; $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$; $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ngoài ra còn có lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$; $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$; $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$; $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng ba cách: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử. Nhiều bài phải kết hợp hai hoặc ba cách mới phân tích xong. Khi phân tích, cần kiểm tra xem còn phân tích tiếp được nữa không và nhân ngược lại để thử kết quả.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính nhanh $103^2$ bằng hằng đẳng thức.

Lời giải: $103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$.

Ví dụ 2. Phân tích đa thức $x^2 - 9$ thành nhân tử.

Lời giải: Dùng hiệu hai bình phương: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Ví dụ 3. Phân tích đa thức $x^3 - 2x^2 + x$ thành nhân tử.

Lời giải: Đặt nhân tử chung $x$: $x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1)$. Trong ngoặc là bình phương của một hiệu: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Vậy kết quả là $x(x - 1)^2$.

3. Ghi nhớ

• Học thuộc lòng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt chú ý dấu cộng, trừ.
• Phân tích đa thức: đặt nhân tử chung trước, rồi mới xét hằng đẳng thức và nhóm hạng tử.
• Sau khi phân tích, nên nhân ngược lại để kiểm tra kết quả.