Bài 21: Phân thức đại số

1. Kiến thức trọng tâm

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó $A$ và $B$ là các đa thức, $B$ khác đa thức $0$. Trong phân thức $\frac{A}{B}$, $A$ được gọi là tử thức, $B$ được gọi là mẫu thức.

Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức với mẫu thức bằng $1$. Chẳng hạn, đa thức $3x + 2$ có thể viết thành $\frac{3x + 2}{1}$.

Vì mẫu thức của một phân thức không được bằng $0$ nên phân thức chỉ có nghĩa khi mẫu thức khác $0$. Điều kiện của biến để mẫu thức khác $0$ được gọi là điều kiện xác định của phân thức.

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau nếu $A \cdot D = B \cdot C$. Ta viết $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$. Quy tắc này tương tự như quy tắc bằng nhau của hai phân số mà em đã học ở lớp 6.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức $\frac{x + 2}{x - 3}$.

Lời giải: Phân thức xác định khi mẫu thức khác $0$, tức là $x - 3 \ne 0$, suy ra $x \ne 3$. Vậy điều kiện xác định là $x \ne 3$.

Ví dụ 2: Chứng minh $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ với $x \ne 2$.

Lời giải: Ta có $(x^2 - 4) \cdot 1 = (x - 2)(x + 2) \cdot 1$ vì $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Tính giá trị của phân thức $\frac{2x}{x + 1}$ tại $x = 3$.

Lời giải: Thay $x = 3$ vào phân thức, ta được $\frac{2 \cdot 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

3. Ghi nhớ

• Phân thức đại số có dạng $\frac{A}{B}$ với $A, B$ là đa thức và $B \ne 0$.
• Luôn tìm điều kiện xác định trước khi tính giá trị của một phân thức.
• Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau khi $A \cdot D = B \cdot C$.
• Mọi đa thức đều là một phân thức có mẫu thức bằng $1$.