Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

1. Kiến thức trọng tâm

Phân thức đại số có các tính chất cơ bản giống như tính chất của phân số.

Tính chất 1: Nếu nhân cả tử thức và mẫu thức của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức $0$ thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với $M$ khác đa thức $0$.

Tính chất 2: Nếu chia cả tử thức và mẫu thức của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho: $\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ với $N$ là nhân tử chung của $A$ và $B$.

Quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử thức và mẫu thức của một phân thức thì được phân thức bằng phân thức đã cho: $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$. Ngoài ra, đổi dấu tử thức và đổi dấu phân thức thì phân thức không đổi giá trị: $\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$.

Nhờ tính chất 2, ta có thể rút gọn một phân thức bằng cách chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Rút gọn phân thức $\frac{6x^2}{9x}$.

Lời giải: Tử thức và mẫu thức có nhân tử chung là $3x$. Chia cả tử và mẫu cho $3x$, ta được $\frac{6x^2}{9x} = \frac{6x^2 : 3x}{9x : 3x} = \frac{2x}{3}$.

Ví dụ 2: Dùng tính chất cơ bản để điền đa thức thích hợp vào chỗ trống: $\frac{x}{x + 1} = \frac{\ldots}{x^2 - 1}$.

Lời giải: Ta có $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$ nên mẫu thức đã được nhân với $(x - 1)$. Nhân cả tử và mẫu với $(x - 1)$, ta được $\frac{x}{x + 1} = \frac{x(x - 1)}{x^2 - 1}$. Vậy đa thức cần điền là $x(x - 1)$.

3. Ghi nhớ

• Nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một đa thức (khác $0$) thì phân thức không đổi.
• Rút gọn phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng.
• Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$ và $\frac{-A}{B} = -\frac{A}{B}$.
• Khi rút gọn, cần phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung.