Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

1. Kiến thức trọng tâm

Cộng hai phân thức cùng mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$.

Cộng hai phân thức khác mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Trừ hai phân thức: Muốn trừ phân thức $\frac{C}{D}$ cho phân thức $\frac{A}{B}$, ta cộng $\frac{C}{D}$ với phân thức đối của $\frac{A}{B}$. Phân thức đối của $\frac{A}{B}$ là $-\frac{A}{B}$, tức là $\frac{-A}{B}$. Công thức: $\frac{C}{D} - \frac{A}{B} = \frac{C}{D} + \left(-\frac{A}{B}\right)$.

Để quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức, ta tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, rồi chọn mẫu thức chung là tích của các nhân tử với số mũ lớn nhất. Sau đó, nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính $\frac{3x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$.

Lời giải: Hai phân thức có cùng mẫu thức $x + 1$ nên $\frac{3x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{3x + 2}{x + 1}$.

Ví dụ 2: Tính $\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1}$.

Lời giải: Mẫu thức chung là $x(x + 1)$. Quy đồng: $\frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x(x + 1)}$ và $\frac{2}{x + 1} = \frac{2x}{x(x + 1)}$. Cộng hai phân thức: $\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} = \frac{x + 1 + 2x}{x(x + 1)} = \frac{3x + 1}{x(x + 1)}$.

Ví dụ 3: Tính $\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$.

Lời giải: $\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} = 1$ (với $x \ne 1$).

3. Ghi nhớ

• Cộng (trừ) hai phân thức cùng mẫu: cộng (trừ) các tử thức, giữ nguyên mẫu thức.
• Cộng (trừ) hai phân thức khác mẫu: quy đồng mẫu thức rồi cộng (trừ) như cùng mẫu.
• Phép trừ phân thức chính là cộng với phân thức đối: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \left(-\frac{C}{D}\right)$.
• Sau khi cộng, trừ, nếu kết quả chưa tối giản thì rút gọn phân thức thu được.