Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

1. Kiến thức trọng tâm

Nhân hai phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, nhân các mẫu thức với nhau: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ với $B, D$ khác đa thức $0$.

Trước khi nhân, nên rút gọn các phân thức (nếu có thể) và phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử để việc rút gọn kết quả được thuận lợi. Sau khi nhân, nếu kết quả chưa tối giản thì rút gọn.

Chia hai phân thức: Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác $0$, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$. Phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$ là $\frac{D}{C}$. Công thức: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$ với $B, C, D$ khác đa thức $0$.

Phép nhân phân thức có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng, tương tự như phép nhân các số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính $\frac{2x}{3} \cdot \frac{9}{4x}$.

Lời giải: $\frac{2x}{3} \cdot \frac{9}{4x} = \frac{2x \cdot 9}{3 \cdot 4x} = \frac{18x}{12x} = \frac{3}{2}$ (với $x \ne 0$).

Ví dụ 2: Tính $\frac{x^2 - 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$.

Lời giải: Phân tích $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, ta được $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x - 1} = x + 1$ (với $x \ne 1$ và $x \ne -2$).

Ví dụ 3: Tính $\frac{x + 1}{2} : \frac{x + 1}{4}$.

Lời giải: Chia cho phân thức $\frac{x + 1}{4}$ chính là nhân với phân thức nghịch đảo $\frac{4}{x + 1}$: $\frac{x + 1}{2} : \frac{x + 1}{4} = \frac{x + 1}{2} \cdot \frac{4}{x + 1} = \frac{4(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$ (với $x \ne -1$).

3. Ghi nhớ

• Nhân hai phân thức: nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu.
• Chia hai phân thức: nhân phân thức bị chia với phân thức nghịch đảo của phân thức chia.
• Phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$ là $\frac{D}{C}$.
• Luôn phân tích thành nhân tử và rút gọn trước hoặc sau khi tính để kết quả tối giản.