Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

1. Kiến thức trọng tâm

Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm ba bước:

Bước 1: Lập phương trình.

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Trả lời.

• Kiểm tra xem nghiệm của phương trình có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận.

Khi chọn ẩn, ta thường chọn đại lượng cần tìm làm ẩn. Điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế của bài toán: chẳng hạn số người, số đồ vật phải là số nguyên dương; độ dài, vận tốc phải là số dương.

Để lập được phương trình, cần đọc kĩ đề bài, xác định các đại lượng đã biết, đại lượng cần tìm và mối quan hệ giữa chúng. Các dạng bài toán thường gặp là: bài toán về chuyển động, bài toán về năng suất, bài toán về số học, bài toán có nội dung hình học.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc $40$ km/h, rồi quay về A với vận tốc $50$ km/h. Thời gian cả đi và về là $4$ giờ $30$ phút. Tính quãng đường AB.

Lời giải: Đổi $4$ giờ $30$ phút thành $4,5$ giờ. Gọi quãng đường AB là $x$ (km), điều kiện x > 0. Thời gian đi là $\frac{x}{40}$ giờ, thời gian về là $\frac{x}{50}$ giờ. Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{x}{40} + \frac{x}{50} = 4,5$.

Giải phương trình: Quy đồng mẫu $200$: $\frac{5x + 4x}{200} = 4,5$, suy ra $9x = 900$, do đó $x = 100$. Giá trị $x = 100$ thỏa mãn điều kiện x > 0. Vậy quãng đường AB dài $100$ km.

3. Ghi nhớ

• Ba bước: lập phương trình, giải phương trình, trả lời.
• Chọn ẩn hợp lí và đặt điều kiện cho ẩn (phù hợp thực tế).
• Biểu diễn mọi đại lượng chưa biết theo ẩn rồi lập phương trình từ mối quan hệ trong đề bài.
• Cuối cùng phải đối chiếu nghiệm với điều kiện của ẩn trước khi kết luận.