Bài 29: Hệ số góc của đường thẳng

1. Kiến thức trọng tâm

Cho đường thẳng $d: y = ax + b$ ($a \ne 0$). Số $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $d$. Hệ số góc $a$ cho biết độ dốc của đường thẳng: a > 0 thì đường thẳng đi lên từ trái sang phải; a < 0 thì đường thẳng đi xuống từ trái sang phải. Giá trị tuyệt đối của $a$ càng lớn thì đường thẳng càng dốc.

Góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$ là góc tạo bởi tia $Ox$ và tia $Ot$ nằm trên đường thẳng, trong đó $T$ là giao điểm của đường thẳng với trục $Ox$ và tia $Ot$ đi lên. Khi a > 0, góc này là góc nhọn; khi a < 0, góc này là góc tù. Hệ số góc $a$ bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng và trục $Ox$.

Hai đường thẳng $d_1: y = a_1x + b_1$ và $d_2: y = a_2x + b_2$ song song với nhau khi và chỉ khi $a_1 = a_2$ và $b_1 \ne b_2$. Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi $a_1 = a_2$ và $b_1 = b_2$. Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi $a_1 \ne a_2$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng $y = -3x + 2$.

Lời giải: Đường thẳng có dạng $y = ax + b$ với $a = -3$. Vậy hệ số góc là $-3$. Vì a < 0 nên đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ 2: Đường thẳng $y = 2x + 1$ có song song với đường thẳng $y = 2x - 5$ hay không?

Lời giải: Hai đường thẳng có cùng hệ số góc $a = 2$ nhưng tung độ gốc khác nhau ($1 \ne -5$) nên chúng song song với nhau.

3. Ghi nhớ

• Hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ là $a$.
• a > 0: đường thẳng đi lên; a < 0: đường thẳng đi xuống.
• Hai đường thẳng song song khi có cùng hệ số góc và khác tung độ gốc.
• Hai đường thẳng cắt nhau khi có hệ số góc khác nhau.