Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

1. Kiến thức trọng tâm

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta không cần kiểm tra tất cả các góc và các cạnh. Chỉ cần một trong ba trường hợp sau là đủ.

Trường hợp 1 (góc – góc): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Đây là trường hợp dùng nhiều nhất vì chỉ cần biết hai góc.

Trường hợp 2 (cạnh – góc – cạnh): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Trường hợp 3 (cạnh – cạnh – cạnh): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có $\widehat{A} = \widehat{D} = 60^\circ$, $\widehat{B} = \widehat{E} = 50^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Lời giải: Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau nên đồng dạng theo trường hợp góc – góc. Vậy $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Ví dụ 2: Cho $\triangle ABC$ có $AB = 4$ cm, $AC = 6$ cm, $\widehat{A} = 70^\circ$; $\triangle DEF$ có $DE = 8$ cm, $DF = 12$ cm, $\widehat{D} = 70^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Lời giải: $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$, lại có $\widehat{A} = \widehat{D} = 70^\circ$ là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ. Vậy hai tam giác đồng dạng.

Ví dụ 3: $\triangle ABC$ có các cạnh $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm; $\triangle DEF$ có các cạnh $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Lời giải: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ nên ba cạnh tỉ lệ. Vậy hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

3. Ghi nhớ

• Góc – góc: hai cặp góc tương ứng bằng nhau.
• Cạnh – góc – cạnh: hai cặp cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau.
• Cạnh – cạnh – cạnh: ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.