Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

1. Kiến thức trọng tâm

Định lí Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền là $BC$, thì $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

Định lí Pythagore đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền. Nhờ định lí đảo, ta có thể kiểm tra một tam giác có vuông hay không khi biết độ dài ba cạnh.

Định lí Pythagore có nhiều ứng dụng. Nó giúp tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết hai cạnh còn lại. Nó cũng giúp tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật và hình vuông.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Tính $BC$.

Lời giải: Theo định lí Pythagore, $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Vậy $BC = \sqrt{25} = 5$ cm.

Ví dụ 2: Tam giác $DEF$ có $DE = 6$ cm, $EF = 8$ cm, $DF = 10$ cm. Hỏi tam giác $DEF$ có vuông không?

Lời giải: Ta có $DF^2 = 10^2 = 100$ và $DE^2 + EF^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Vì $DF^2 = DE^2 + EF^2$ nên theo định lí Pythagore đảo, tam giác $DEF$ vuông tại $E$.

Ví dụ 3: Một cái thang dài $5$ m dựa vào tường, chân thang cách tường $3$ m. Tính chiều cao từ mặt đất đến điểm thang chạm tường.

Lời giải: Thang, tường và mặt đất tạo thành tam giác vuông có cạnh huyền $5$ m và một cạnh góc vuông $3$ m. Chiều cao cần tìm là $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ m.

3. Ghi nhớ

• Tam giác vuông tại $A$: $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
• Định lí đảo: $a^2 = b^2 + c^2$ thì tam giác vuông, cạnh $a$ là cạnh huyền.
• Xác định đúng cạnh huyền trước khi áp dụng công thức.