Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

1. Kiến thức trọng tâm

Tam giác vuông có một góc vuông sẵn nên việc chứng minh đồng dạng đơn giản hơn tam giác thường. Có ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông.

Trường hợp 1 (góc nhọn): Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. Vì mỗi tam giác đã có một góc vuông bằng nhau, thêm một góc nhọn bằng nhau là đủ theo trường hợp góc – góc.

Trường hợp 2 (hai cạnh góc vuông): Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. Đây là trường hợp cạnh – góc – cạnh, trong đó góc xen giữa chính là góc vuông.

Trường hợp 3 (cạnh huyền – cạnh góc vuông): Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Khi làm bài, cần xác định rõ đâu là cạnh huyền, đâu là cạnh góc vuông, và các cạnh tương ứng của hai tam giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hai tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $A$) và $DEF$ (vuông tại $D$) có $\widehat{B} = \widehat{E} = 40^\circ$. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Lời giải: Hai tam giác vuông có một góc nhọn tương ứng bằng nhau nên đồng dạng theo trường hợp góc nhọn.

Ví dụ 2: Tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $A$) có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm; tam giác vuông $DEF$ (vuông tại $D$) có $DE = 6$ cm, $DF = 8$ cm. Chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Lời giải: $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ nên hai cạnh góc vuông tỉ lệ. Vậy hai tam giác đồng dạng theo trường hợp hai cạnh góc vuông.

3. Ghi nhớ

• Góc nhọn: một góc nhọn tương ứng bằng nhau.
• Hai cạnh góc vuông: hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ.
• Cạnh huyền – cạnh góc vuông: cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ.