Bài 4: Phép nhân đa thức

1. Kiến thức trọng tâm

Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại: $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$. Ví dụ: $2x \cdot (x^2 + 3x - 1) = 2x^3 + 6x^2 - 2x$.

Muốn nhân hai đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi cộng các tích lại. Ví dụ: $(x + 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^2 + 5x + 6$.

Lưu ý quy tắc dấu: cùng dấu cho tích dương, trái dấu cho tích âm. Đồng thời, khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng số mũ: $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$.

Sau khi nhân, thu gọn kết quả; với đa thức một biến, sắp xếp theo lũy thừa giảm dần.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $3xy \cdot (2x - y + 1)$.

Lời giải. $3xy \cdot (2x - y + 1) = 3xy \cdot 2x - 3xy \cdot y + 3xy \cdot 1 = 6x^2y - 3xy^2 + 3xy$.

Ví dụ 2. Tính $(x - 4)(2x + 1)$.

Lời giải. $(x - 4)(2x + 1) = x \cdot 2x + x \cdot 1 - 4 \cdot 2x - 4 \cdot 1 = 2x^2 + x - 8x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$.

Ví dụ 3. Tính $(2x + 3)(x^2 - x + 2)$.

Lời giải. $(2x + 3)(x^2 - x + 2) = 2x \cdot x^2 - 2x \cdot x + 2x \cdot 2 + 3x^2 - 3x + 6 = 2x^3 - 2x^2 + 4x + 3x^2 - 3x + 6 = 2x^3 + x^2 + x + 6$.

3. Ghi nhớ

• Đơn thức nhân đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng lại.
• Đa thức nhân đa thức: nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng lại.
• Nhớ quy tắc dấu và $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$, sau đó thu gọn kết quả.