Bài tập cuối chương 4

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 4 tổng kết ba nội dung quan trọng: định lí Thalès trong tam giác, đường trung bình của tam giác và tính chất đường phân giác của tam giác. Định lí Thalès phát biểu: nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định lí đảo cũng đúng: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.

Đường trung bình của tam giác nối trung điểm hai cạnh, song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy. Tính chất đường phân giác của tam giác phát biểu: trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn thẳng ấy.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, điểm $D$ thuộc $AB$, điểm $E$ thuộc $AC$ sao cho $DE$ song song $BC$, $AD = 3$ cm, $DB = 6$ cm, $AE = 4$ cm. Tính $EC$.

Lời giải: Theo định lí Thalès: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, tức là $\frac{3}{6} = \frac{4}{EC}$. Suy ra $EC = 8$ cm.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ và $BC = 10$ cm. Tính $MN$.

Lời giải: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN = \frac{1}{2} BC = 5$ cm.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm. Đường phân giác góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Biết $BD = 4$ cm, tính $DC$.

Lời giải: Theo tính chất đường phân giác: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Suy ra $DC = BD \cdot \frac{3}{2} = 6$ cm.

3. Ghi nhớ

• Định lí Thalès cho tỉ lệ đoạn thẳng khi có đường thẳng song song với một cạnh.
• Đường trung bình song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.
• Đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.