Bài 5: Phép chia đa thức cho đơn thức

1. Kiến thức trọng tâm

Một đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ (với $B \ne 0$) khi mỗi biến của $B$ đều có trong $A$ với số mũ không lớn hơn. Khi đó, thương $A : B$ là một đơn thức, có hệ số bằng thương của hai hệ số và phần biến được tính bằng cách trừ số mũ của từng biến: $x^m : x^n = x^{m - n}$ (với $m \ge n$). Ví dụ: $12x^3y^2 : 3x^2y = 4xy$.

Một đa thức $P$ chia hết cho đơn thức $Q$ (với $Q \ne 0$) khi mỗi hạng tử của $P$ đều chia hết cho $Q$. Khi đó, muốn chia đa thức $P$ cho đơn thức $Q$, ta chia mỗi hạng tử của $P$ cho $Q$ rồi cộng các thương lại: $(A + B) : Q = A : Q + B : Q$.

Nếu có hạng tử không chia hết cho đơn thức thì đa thức không chia hết cho đơn thức đó, ví dụ $x^2 + 1$ không chia hết cho $x$.

Khi chia, cẩn thận với dấu và đừng quên hạng tử là số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $20x^4y^3 : (-5x^2y)$.

Lời giải. $20x^4y^3 : (-5x^2y) = (20 : (-5)) \cdot x^{4 - 2} \cdot y^{3 - 1} = -4x^2y^2$.

Ví dụ 2. Tính $(6x^3y^2 - 9x^2y + 3xy) : 3xy$.

Lời giải. $(6x^3y^2 - 9x^2y + 3xy) : 3xy = 6x^3y^2 : 3xy - 9x^2y : 3xy + 3xy : 3xy = 2x^2y - 3x + 1$.

Ví dụ 3. Đa thức $4x^3 + 2x^2 - 6x$ có chia hết cho đơn thức $2x$ không? Nếu có, hãy tính thương.

Lời giải. Mọi hạng tử đều chia hết cho $2x$ nên đa thức chia hết. Thương là $4x^3 : 2x + 2x^2 : 2x - 6x : 2x = 2x^2 + x - 3$.

3. Ghi nhớ

• Đơn thức chia đơn thức: chia hệ số, trừ số mũ của từng biến.
• Đa thức chia đơn thức: chia từng hạng tử cho đơn thức rồi cộng các thương.
• Đa thức chỉ chia hết cho đơn thức khi mọi hạng tử đều chia hết cho đơn thức đó.