Bài tập cuối chương 3

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 3 tổng kết kiến thức về tứ giác và các tứ giác đặc biệt. Tứ giác là hình gồm bốn đoạn thẳng, trong đó không có hai đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng. Tổng bốn góc của một tứ giác bằng $360^\circ$. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau; nó có hai đường chéo bằng nhau và trục đối xứng đi qua trung điểm hai đáy.

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song, các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông; hai đường chéo của nó bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau; hai đường chéo vuông góc với nhau và là các đường phân giác của các góc. Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = 80^\circ$, $\widehat{B} = 100^\circ$, $\widehat{C} = 90^\circ$. Tính góc $D$.

Lời giải: Tổng bốn góc bằng $360^\circ$ nên $\widehat{D} = 360^\circ - 80^\circ - 100^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ví dụ 2. Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải: Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo, $OA = OC$, $OB = OD$. Hai tam giác $OAB$ và $OCD$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh, suy ra $AB$ song song $CD$ và $AD$ song song $BC$. Vậy tứ giác là hình bình hành.

Ví dụ 3. Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh $5$ cm và đường chéo $AC = 6$ cm. Tính đường chéo $BD$.

Lời giải: Hai đường chéo cắt nhau tại $O$, vuông góc với nhau, $OA = 3$ cm. Trong tam giác vuông $AOB$: $OB^2 = 25 - 9 = 16$, nên $OB = 4$ cm, suy ra $BD = 8$ cm.

3. Ghi nhớ

• Tổng bốn góc của tứ giác bằng $360^\circ$.
• Hình vuông có đủ tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.