Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

1. Kiến thức trọng tâm

Ba hằng đẳng thức đầu tiên là công cụ rất quan trọng để biến đổi biểu thức:

• Hiệu hai bình phương: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
• Bình phương của một tổng: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
• Bình phương của một hiệu: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Trong đó $A$, $B$ có thể là số, đơn thức hay biểu thức bất kì. Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho phép phân tích một hiệu thành tích, còn hai hằng đẳng thức bình phương cho phép khai triển nhanh bình phương của một tổng hoặc một hiệu mà không cần nhân từng hạng tử.

Lưu ý: $(A + B)^2$ khác $A^2 + B^2$ vì còn hạng tử $2AB$, ví dụ $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

Ngược lại, dùng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức, chẳng hạn $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ hay $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khai triển $(2x + 5)^2$.

Lời giải. $(2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$.

Ví dụ 2. Khai triển $(3y - 1)^2$.

Lời giải. $(3y - 1)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 = 9y^2 - 6y + 1$.

Ví dụ 3. Tính nhanh $103^2 - 3^2$ và rút gọn $x^2 - 16$.

Lời giải. $103^2 - 3^2 = (103 - 3)(103 + 3) = 100 \cdot 106 = 10600$. $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.

Ví dụ 4. Viết $4x^2 - 4x + 1$ dưới dạng bình phương của một hiệu.

Lời giải. $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$.

3. Ghi nhớ

• $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
• $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$; $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
• Không được quên hạng tử $2AB$ khi khai triển bình phương của một tổng hay một hiệu.