Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

1. Kiến thức trọng tâm

Tiếp theo các hằng đẳng thức bậc hai là hai hằng đẳng thức lập phương:

• Lập phương của một tổng: $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.
• Lập phương của một hiệu: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Trong đó $A$, $B$ có thể là số, đơn thức hay biểu thức bất kì. Quy luật dấu: với tổng, mọi hạng tử đều cộng; với hiệu, dấu xen kẽ $+$, $-$, $+$, $-$.

Hệ số là $1$, $3$, $3$, $1$; chú ý tính đúng lũy thừa từng hạng tử.

Ngược lại, ta cũng dùng hai hằng đẳng thức này để viết một đa thức thành lập phương của một tổng hoặc một hiệu, chẳng hạn $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khai triển $(x + 2)^3$.

Lời giải. $(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

Ví dụ 2. Khai triển $(2x - 1)^3$.

Lời giải. $(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 - 1^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$.

Ví dụ 3. Tính $(x + 1)^3 - (x - 1)^3$.

Lời giải. $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$; $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$. Trừ hai biểu thức: $(x + 1)^3 - (x - 1)^3 = 6x^2 + 2$.

Ví dụ 4. Viết $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$ dưới dạng lập phương của một hiệu.

Lời giải. $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 - 1^3 = (2x - 1)^3$.

3. Ghi nhớ

• $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.
• $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.
• Hệ số là $1$, $3$, $3$, $1$; với hiệu, các dấu xen kẽ $+$, $-$, $+$, $-$.