Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

1. Kiến thức trọng tâm

Hai hằng đẳng thức cuối cùng trong nhóm bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là:

• Tổng hai lập phương: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
• Hiệu hai lập phương: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Trong đó $A$, $B$ có thể là số, đơn thức hay biểu thức bất kì. Thừa số thứ hai gọi là bình phương thiếu: $A^2 - AB + B^2$ và $A^2 + AB + B^2$.

Cách nhớ dấu: tổng thì $(A + B)$ và thừa số sau có dấu trừ ở giữa; hiệu thì $(A - B)$ và thừa số sau toàn dấu cộng.

Hai hằng đẳng thức này dùng để phân tích đa thức thành nhân tử, ví dụ $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phân tích $x^3 + 27$ thành nhân tử.

Lời giải. $x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Ví dụ 2. Phân tích $8x^3 - 1$ thành nhân tử.

Lời giải. $8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)\big((2x)^2 + 2x \cdot 1 + 1^2\big) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$.

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x^3$.

Lời giải. $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$ theo hằng đẳng thức tổng hai lập phương. Vậy biểu thức bằng $(x^3 + 8) - x^3 = 8$.

Ví dụ 4. Tính giá trị của $a^3 - b^3$ biết $a - b = 2$ và $ab = 3$.

Lời giải. $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Vì $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 10$ nên $a^2 + ab + b^2 = 13$. Vậy $a^3 - b^3 = 2 \cdot 13 = 26$.

3. Ghi nhớ

• $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
• $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
• Chú ý dấu của thừa số thứ hai: tổng thì trừ, hiệu thì cộng.