Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Kiến thức trọng tâm

Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức thành tích của các đa thức. Các phương pháp thường dùng là:

• Đặt nhân tử chung: tìm thừa số chung của tất cả các hạng tử rồi đặt ra ngoài ngoặc. Ví dụ: $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$.
• Dùng hằng đẳng thức: nhận ra dạng hằng đẳng thức, ví dụ $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
• Nhóm hạng tử: nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức, ví dụ $x^2 + 2x + xy + 2y = (x + 2)(x + y)$.

Thường kết hợp nhiều phương pháp: đặt nhân tử chung trước, rồi xét hằng đẳng thức, cuối cùng nhóm hạng tử. Kiểm tra lại bằng cách nhân các nhân tử.

Phân tích thành nhân tử giúp rút gọn phân thức, giải phương trình tích và tính nhanh giá trị biểu thức.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phân tích $12x^3y - 8x^2y^2$ thành nhân tử.

Lời giải. Nhân tử chung của hai hạng tử là $4x^2y$. Vậy $12x^3y - 8x^2y^2 = 4x^2y(3x - 2y)$.

Ví dụ 2. Phân tích $x^2 + 6x + 9 - y^2$ thành nhân tử.

Lời giải. Vì $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ nên biểu thức $= (x + 3)^2 - y^2 = (x + 3 - y)(x + 3 + y)$.

Ví dụ 3. Phân tích $2x^2 - 2x - 4$ thành nhân tử.

Lời giải. Đặt nhân tử chung $2$: $2x^2 - 2x - 4 = 2(x^2 - x - 2)$. Tiếp tục: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. Vậy kết quả là $2(x - 2)(x + 1)$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $x^2 - 5x = 0$.

Lời giải. $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ nên $x = 0$ hoặc $x = 5$.

3. Ghi nhớ

• Ba phương pháp chính: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử.
• Thường kết hợp nhiều phương pháp; đặt nhân tử chung trước.
• Kiểm tra lại bằng cách nhân các nhân tử để thu về đa thức ban đầu.