Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Kiến thức trọng tâm

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các số đã biết và $a$, $b$ không đồng thời bằng $0$. Một cặp số $(x_0; y_0)$ gọi là nghiệm của phương trình nếu thay $x = x_0$, $y = y_0$ vào phương trình ta được đẳng thức đúng. Phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm; tập nghiệm được biểu diễn bằng một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

Nghiệm của hệ là cặp số $(x_0; y_0)$ đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình. Về hình học, nghiệm của hệ chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình. Tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng, hệ có thể có một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cặp số $(2; 1)$ có là nghiệm của phương trình $3x - y = 5$ không?

Lời giải. Thay $x = 2$, $y = 1$ vào vế trái: $3 \cdot 2 - 1 = 5$. Vì vế trái bằng vế phải nên $(2; 1)$ là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2. Kiểm tra cặp số $(1; 2)$ có là nghiệm của hệ $\begin{cases} x + y = 3 \ 2x - y = 0 \end{cases}$ không?

Lời giải. Thay $x = 1$, $y = 2$ vào phương trình thứ nhất: $1 + 2 = 3$ (đúng). Thay vào phương trình thứ hai: $2 \cdot 1 - 2 = 0$ (đúng). Vậy $(1; 2)$ là nghiệm của hệ.

3. Ghi nhớ

• Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ có vô số nghiệm.
• Nghiệm của hệ là cặp số thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.
• Hệ có một nghiệm khi hai đường thẳng cắt nhau, vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, vô nghiệm khi hai đường thẳng song song.