Bài tập cuối chương 1

1. Kiến thức trọng tâm

• Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a, b$ không đồng thời bằng $0$. Mỗi nghiệm $(x_0; y_0)$ là một cặp số thỏa mãn phương trình.
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$. Nghiệm của hệ là cặp số thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.
• Một hệ có thể có một nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. Về hình học, nghiệm của hệ là giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình.
• Các phương pháp giải hệ: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số và phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp đặc biệt.
• Giải bài toán bằng cách lập hệ: chọn ẩn, đặt điều kiện; biểu diễn các đại lượng theo ẩn; lập và giải hệ; đối chiếu điều kiện rồi kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = 7 \ x - y = 2 \end{cases}$.

Cộng vế theo vế hai phương trình, ta được $3x = 9$, suy ra $x = 3$. Thay $x = 3$ vào phương trình thứ hai: $3 - y = 2$, suy ra $y = 1$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(3; 1)$.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $40$ m và chiều dài hơn chiều rộng $4$ m. Gọi chiều dài là $x$ (m), chiều rộng là $y$ (m) với x > y > 0. Ta có hệ $\begin{cases} 2(x + y) = 40 \ x - y = 4 \end{cases}$, tức $\begin{cases} x + y = 20 \ x - y = 4 \end{cases}$. Cộng hai phương trình được $2x = 24$, suy ra $x = 12$, $y = 8$. Vậy mảnh vườn dài $12$ m, rộng $8$ m.

3. Ghi nhớ

• Chọn phương pháp gọn nhất: cộng đại số khi hệ số đối nhau, thế khi một ẩn dễ biểu diễn.
• Khi giải bài toán bằng cách lập hệ, luôn đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu nghiệm với điều kiện trước khi kết luận.
• Kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay vào cả hai phương trình ban đầu.