Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Kiến thức trọng tâm

Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thường dùng hai phương pháp: phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

Phương pháp thế: Từ một phương trình, biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình kia, ta được phương trình bậc nhất một ẩn. Giải phương trình đó rồi thay trở lại để tìm ẩn còn lại.

Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của mỗi phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho hệ số của một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, rồi cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình để khử một ẩn. Giải phương trình một ẩn thu được rồi thay trở lại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải hệ $\begin{cases} x + y = 5 \ 2x - y = 4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải. Cộng từng vế hai phương trình: $(x + 2x) + (y - y) = 5 + 4$, tức $3x = 9$, suy ra $x = 3$. Thay $x = 3$ vào phương trình thứ nhất: $3 + y = 5$, suy ra $y = 2$. Vậy hệ có nghiệm $(3; 2)$.

Ví dụ 2. Giải hệ $\begin{cases} x - 2y = 1 \ 3x + y = 10 \end{cases}$ bằng phương pháp thế.

Lời giải. Từ phương trình thứ nhất: $x = 1 + 2y$. Thế vào phương trình thứ hai: $3(1 + 2y) + y = 10$, tức $3 + 7y = 10$, suy ra $y = 1$. Khi đó $x = 1 + 2 \cdot 1 = 3$. Vậy nghiệm của hệ là $(3; 1)$.

3. Ghi nhớ

• Phương pháp thế: rút một ẩn rồi thế vào phương trình còn lại.
• Phương pháp cộng đại số: làm cho hệ số của một ẩn đối nhau rồi cộng hai phương trình.
• Sau khi tìm được một ẩn, luôn thay trở lại để tìm ẩn còn lại và thử lại vào cả hai phương trình.