Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

1. Kiến thức trọng tâm

Căn bậc ba của một số $a$ là số $x$ sao cho $x^3 = a$, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$. Khác với căn bậc hai, mọi số thực — dương, âm hay bằng $0$ — đều có duy nhất một căn bậc ba. Ta có $(\sqrt[3]{a})^3 = a$ và $\sqrt[3]{a^3} = a$ với mọi số thực $a$.

Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng $\sqrt[3]{A}$, trong đó $A$ là biểu thức đại số. Vì mọi số đều có căn bậc ba nên căn thức bậc ba $\sqrt[3]{A}$ luôn xác định với mọi $A$, không cần điều kiện như căn thức bậc hai.

Các tính chất:

• $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$ với mọi số $a$, $b$.
• $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ với mọi số $a$ và $b \ne 0$.
• $\sqrt[3]{a^3} = a$ với mọi số $a$.

Tương tự căn bậc hai, ta cũng có thể đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn bậc ba: $\sqrt[3]{A^3B} = A\sqrt[3]{B}$ với mọi $A$, $B$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\sqrt[3]{27}$, $\sqrt[3]{-8}$ và $\sqrt[3]{0}$.

Lời giải. $\sqrt[3]{27} = 3$ vì $3^3 = 27$. $\sqrt[3]{-8} = -2$ vì $(-2)^3 = -8$. $\sqrt[3]{0} = 0$.

Ví dụ 2. Rút gọn $\sqrt[3]{54}$.

Lời giải. $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ví dụ 3. Tính $\sqrt[3]{-125} + \sqrt[3]{64}$.

Lời giải. $\sqrt[3]{-125} = -5$ vì $(-5)^3 = -125$; $\sqrt[3]{64} = 4$ vì $4^3 = 64$. Vậy tổng bằng $-5 + 4 = -1$.

3. Ghi nhớ

• Mọi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba; số âm có căn bậc ba âm.
• $(\sqrt[3]{a})^3 = a$ và $\sqrt[3]{a^3} = a$ với mọi số $a$.
• $\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$; $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ ($b \ne 0$).
• Căn thức bậc ba luôn xác định, không cần điều kiện.