Bài tập cuối chương 10

1. Kiến thức trọng tâm

• Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, song song. Với bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$: diện tích xung quanh $S_{xq} = 2\pi r h$, diện tích toàn phần $S_{tp} = 2\pi r h + 2\pi r^2$, thể tích $V = \pi r^2 h$.
• Hình nón có đáy là hình tròn bán kính $r$, chiều cao $h$ và đường sinh $l$ thỏa mãn $l^2 = r^2 + h^2$. Diện tích xung quanh $S_{xq} = \pi r l$, diện tích toàn phần $S_{tp} = \pi r l + \pi r^2$, thể tích $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
• Hình cầu bán kính $R$: diện tích mặt cầu $S = 4\pi R^2$, thể tích $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
• Khi quay hình chữ nhật quanh một cạnh, ta được hình trụ. Khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông, ta được hình nón. Khi quay nửa hình tròn quanh đường kính, ta được hình cầu.
• Chú ý đổi đơn vị thống nhất trước khi tính và ghi rõ đơn vị của diện tích (đơn vị vuông) và thể tích (đơn vị khối).

2. Ví dụ minh họa

Tính thể tích của một hình trụ có bán kính đáy $r = 3$ cm và chiều cao $h = 5$ cm.

Ta có $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi$ cm³.

Một hình nón có bán kính đáy $r = 4$ cm, chiều cao $h = 3$ cm. Đường sinh là $l = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm. Diện tích xung quanh là $S_{xq} = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$ cm². Thể tích là $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 16\pi$ cm³.

Một quả bóng có bán kính $R = 6$ cm. Diện tích mặt cầu là $S = 4\pi \cdot 6^2 = 144\pi$ cm², thể tích là $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = 288\pi$ cm³.

3. Ghi nhớ

• Đừng nhầm đường sinh $l$ của hình nón với chiều cao $h$: $l$ là cạnh huyền, luôn lớn hơn $h$.
• Thể tích hình nón bằng một phần ba thể tích hình trụ có cùng đáy và chiều cao.
• Khi đề cho đường kính, nhớ chia đôi để được bán kính trước khi thay vào công thức.